PRIMJENA MATEMATIKE U SREDNJOŠKOLSKOM OBRAZOVANJU ŽELJEZNIČKIH DJELATNIKA UDK : 371.3 : 51 Mr.sc. Drago Pupovac, Željeznička tehnička škola - Moravice 1. Uvod Matematika je vjerojatno kod većine učenika jedan od najproblematičnijih nastavnih predmeta. Strah od ovog predmeta kao da se usadi u djecu i prije samog polaska u školu kada mogu biti, a najčešće i jesu, ismijani u društvu svojih starijih prijatelja koji idu u školu, a kada nisu u stanju riješiti tako jednostavan problem kao što je 7 + 4. Tko to ne zna?! Nakon toga kroz cijelo trajanje školovanja slijedi cijeli niz takovih jednostavnih pitanja na koja ne mogu pronaći odgovarajuće a tako jednostavne odgovore što dovodi do gubitka interesa za nastavne sadržaje iz ovog predmeta, a kulminira negativnim ocjenama koje na žalost mnogi profesori vrlo rado daju. Ako ovomu pridodamo veliki broj roditelja, a i sadašnjih profesora koji su (ne)uspješno prošli kroz ove faze, vrlo lako dolazimo do odgovora na pitanje zašto se već u najranijoj dobi kod učenika izgubi interes za matematikom, a profesori matematike, fizike, logike i sličnih znanstvenih disciplina doživljavaju prije čudacima, a tek potom u nekoj sretnijoj varijanti zanesenjacima. Stoga je zadaća ovoga rada pokazati kako se nastavnim sadržajima iz matematike mogu oplemeniti nastavni sadržaji drugih nastavnih predmeta, te ukazati na niz propusta koji doprinose gubitku interesa učenika za jednim od najizazovnijih i najizdašnijih nastavnih predmeta. U radu je dat originalan pedagoški primjer primjene djela matematičkih znanja u dijelu uže stručnih nastavnih sadržaja iz Prijevoza putnika u obrazovanju za željeznička zanimanja, a glede izračunavanja prijevoznih cijena. 2. Zastupljenost matematike u nastavnim planovima za željeznička zanimanja ________________________________________________________________________________________________ Godine Tjedni broj sati matematike Zanimanja u željezničkom prometu trajanja 1.r. 2.r. 3.r. 4.r. ________________________________________________________________________________________________ Tehničar za željeznički promet 4 3 3 2 2 Tehničar vuče-strojovođa 4 3 3 2 2 Tehničar vuče-strojovođa diesel vučnih vozila 4 3 3 2 2 Tehničar vuče-strojovođa elektrovučnih vozila 4 3 3 2 2 Rukovatelj strojevima za pružne radove 4 3 3 2 2 Tehničar održavanja pruga 4 3 3 2 2 Tehničar tehničko-vagonske službe 4 3 3 2 2 Željeznički prometni radnik 3 3 3 2 - Voditelj pružnih radova 3 3 3 2 - Telegrafist - teleprinterist 3 3 3 2 - Vozač motornih pružnih vozila 3 3 3 2 - ________________________________________________________________________________________________ Pregledom podataka iz tablice 1 o tjednoj zastupljenosti matematike u obrazovanju za zanimanja u području željezničkog prometa mogu biti zadovoljni i najveći zaljubljenici u matematiku. Nadalje, i laiku je jasno da se u određivanju tjednog broja sati za pojedina zanimanja kao jedini kriterij uzelo trajanje obrazovanja. Po tom kriteriju proizlazi da je tjedni broj sati isti za sva četverogodišnja zanimanja, odnosno za sva trogodišnja zanimanja, neovisno o njihovoj složenosti ili stvarnoj potrebi za poznavanjem nastavnih sadržaja iz ovog nastavnog predmeta. Jedina "finesa" koja je učinjena prigodom određivanja tjednog opterećenja učenika nastavnim sadržajima iz matematike je da su učenici u prva dva razreda neovisno o trajanju obrazovanja i odabranom zanimanju opterećeni s tri, a u završnim razredima s po dva nastavna sata. Ovo bi se istina i moglo prihvatiti kao dobro rješenje uz pretpostavku da je "gubitak" ovoga jednoga sata popraćen s dostatnom zamjenom u vidu jačanja nastavnih korelativnih sadržaja matematike u drugim, i to prije svega uže stručnim nastavnim predmetima. No, na žalost, pregledom literature koja služi obrazovanju budućih željezničkih radnika vidljivo je da tomu nije tako. Nastavni sadržaji koji se iz pojedinih uže stručnih predmeta mogu vrlo učinkovito obraditi primjenom matematike svedeni su na puko iščitavanje podataka iz već sačinjenih tablica. Zašto je tomu tako (misli se na navedene podatke u tablicama)?, za učenike uglavnom ostaje enigma. Jedine dvije knjige koje se ozbiljnije bave primjenom matematike u uže stručnim predmetima (u vidu rješavanja praktičnih zadataka) jesu : Zadaci iz tehnologije željezničkog prometa, Prijevoz robe željeznicom. Da bi zbirka bila potpuna nastavni sadržaji matematike za zanimanja u četvorogodišnjem programu obrađuju se po jedinstvenim gimnazijskim udžbenicima, a za zanimanja u trogodišnjim programima po jedinstvenim udžbenicima za strukovne škole. 3. Tko (ne)zna matematiku? Sasvim je razumljivo od profesora da očekuju od svojih učenika da se "naoružaju" osnovnim znanjima koja će im pomoći da razumiju svijet oko sebe, te da su pripremljeni da učinkovito odgovore budućim radnim i inim zadacima permanentno šireći prethodno stečeno znanje. Zato vrlo često (ne)znanje učenika na profesore blago rečeno djeluje iritirajuće. No, nedostajanje elementarnih znanja kod učenika nije ničije posebno otkriće i ne odnosi se samo na matematiku. Primjera radi, provedena istrživanja u SAD otkrila su nevjerojatne ali istinite činjenice : dvije trećine sedamnaestogodišnjih učenika nisu u stanju smjestiti američki građanski rat u odgovarajuću polovicu stoljeća, polovica ih ne zna da je Staljin vodio bivši SSSR za vrijeme drugog svjetskog rata, gotovo polovica ne zna da je napad na Pearl Harbor izveden u periodu između 1939-1943., tri od pet ne mogu definirati Holokaust, trideset šest posto smješta aferu Watergate prije 1950., a jedan od pet prije 1900., gotovo polovica ih smatra da je SSSR okupirao Izrael nakon drugog svjetskog rata, jedan od tri ne može locirati Francusku na karti Europe. Čudno, blago rečeno. No, nitko se od roditelja i profesora, usudili bi se reći, posebice ne zabrinjava poradi ovakvog neznanja. No, s druge stranekada promatramo znanje nastavnih sadržaja iz matematike, već se stoljećima isti definira kao problematičan predmet u školi. Zašto je tomu tako? Zašto se može iznijeto konstatacija da smo manji dio učenika, vjerojatno ne više od jedne petine, nema problema s učenjem matematike. Ostali, znatno veći broj, nikada je i ne nauči. Ako neko od navedenih pitanja postavite roditeljima japanske djece dobit ćete vrlo jasan odgovor : Djeca se ne trude dovoljno. Amerikanci u pravilu odgovaraju : Matematika je težak predmet ili djeca nisu dorasla matematici. Kod nas bi najvjerojatniji odgovor bio : Profesor je čudak, traži previše. Podrazumijeva se da je moguće veći broj učenika osposobiti za samo polaganje ispita iz matematike. Japanci to čine velikom koncentracijom na predmet učenja. To, ipak, ne znači da japanska djeca zaista i nauče matematiku. Oni samo nauče polagati ispit-test, a potom odmah zaborave matematiku. U svakoj generaciji postoji po neki briljantan nastavnik matematike, koji može na neki način naučiti i najmanje talentiranog učenika. Ali, to nitko drugi ne može ponoviti, niti se njegova sposobnost prenošenja znanja može prenijeti drugim profesorima. S druge strane, kada pitate učenike da ponove formulu ili da je primjene oni to u pravilu znaju učiniti. No, ukoliko ih pitate da to pojasne, neovisno o tomu koliko ste ih poučavali, vrlo često dobit ćete gotovo isti (naivni) odgovor kao da i niste utrošili toliki rad. 4. "Vesele formule - tužne tablice" Željezničke tarife su po svom obujmu i isprepletenosti propisa sigurno jedne od najsloženijih za razumijevanje. Primjerice Tarifu za prijevoz putnika čine Tarifa - 101, Tarifa -102, Tarifa - 103, Tarifa - 104. No, da bi se uspješno i kvalitetno tumačile potrebito je poznavati još niz željezničkih propisa koji su sadržani u raznoraznim pravilnicima i uputama. Sukladno naprijed izrečenom pomoću vesele formule dokazat ćemoda su sve tablice iz Tarife - 103 (Cijenika) manje važne za pravilno izračunavanje prijevozne cijene. Nadalje primjena vesele formule omogućava i daleko brže i korisniku prijevozne usluge razumljivije izračunavanje prijevozne cijene. Prijevozna cijena u okviru prijevoza putnika može se sastojati iz dva osnovna elementa: prijevozne cijene za putovanje u odlasku (A) i prijevozne cijene u povratku (R). Ako prijevoznu cijenu označimo sa PC, onda prijevoznu cijenu u odlasku možemo označiti sa PCA, a prijevoznu cijenu u povratku sa PCR. Na taj način prijevozna cijena u odlasku i povratku može se iskazati pomoću formule: 1.1PCAR=PCA+PCR Da bi mogli izračunati PCAR moramo poznavati preostala dva elementa u formuli, odnosno čimbenike koji mogu utjecati na visinu prijevozne cijene u odlasku (PCA), odnosno povratku (PCR). Kako nam je za izračunavanje prijevozne cijene potrebna polazna osnova, odnosno osnovna cijena, nju ćemo pronaći u Tablici 1.1 koja označava redovite prijevozne cijene za 1. ili 2. vagonski razred, već u ovisnosti o tarifnoj udaljenosti na kojoj će putnik putovati. Cijene u tablici 1.1 predstavljene su samo za jednosmjerno putovanje. Cilj rada je dokazati ne samo da se na osnovu polazne formule mogu iskazati sve već izračunane cijene u pojedinim tablicama (2.1, 2.2, 3.1 i druge), nego da se pomoću formule može izračunati ukupna prijevozna cijena neovisno o svim modalitetima koji se mogu javiti prije ili za vrijeme putovanja. S tim u svezi, prijevoznu cijenu za jednosmjerno putovanje ili putovanje u odlasku (PCA) možemo izraziti na sljedeći način: 1.2PCAxr= (OCxr + Drv) X koef. Legenda: xr - označava vrstu vagonskog razreda koji može biti 1.r ili 2.r rv - rang korištenog vlaka (B, Ex, IC - vlak) koef - koeficijent korištene povlastice (primjerice ukoliko putnik koristi povlasticu od 30% koeficijent će iznositi 0,7 i sl.) No, ukoliko iz formule izbacimo xr, te prijevoznu cijenu za 2.r. uzmemo kao osnovnu cijenu, tada će formula izgledati nešto drukčija i malo kompliciranija, ali će nam taj prikaz dobro doći za pojašnjavanje nekih težih slučajeva (komplicirane promjene uvjeta putovanja po nalogu putnika). 1.2.1PCA = (OC2r + R1/2r + Drv) X koef. Legenda: R1/2r - razlika u prijevoznoj cijeni između 1. i 2. vagonskog razreda Kako izračunavanje prijevozne cijene u povratku ovisi o istim čimbenicima, tada su formule 1.2 i 1.2.1 prihvatljive i za iskazivanje prijevozne cijene u povratku (PCR). Sukladno tomu u formuli 1.1 možemo izvršiti supstituciju tako da dobijemo sljedeću formulu: 1.3.PCAR = (OCxr + Drv) X koef + (OCxr + Drv) X koef ili 1.3.1PCAR = (OC2r +R1/2r + Drv) X koef. + (OC2r + R1/2r + Drv) X koef. Kako je inače u praksi najčešći slučaj da su uvjeti putovanja identični u odlasku i povratku, onda je PCA = PCR, te tada prijevoznu cijenu izračunavamo vrlo jednostavno pomoću formule: 1.4PCAR = (PCA X koef) X 2 ili supstitucijom 1.4.1PCAR = [(OC2r + R1/2r + Drv) X koef.] X 2 Mogućnosti koje se još eventualno mogu pojaviti u praksi dobivaju se proširenjem formula 1.2 ili 1.2.1, tako da dobijamo sljedeću formulu: 1.5PCA = (OC2r + R1/2r + Drv) X koef. + KDVX + N Legenda: KDVX - kondukterov dodatak u vlaku (x = mali, srednji, veliki) N - naknade za raznovrsne usluge (rezerviranje sjedala, ležaja ili postelja, prodajne tiskanice) Na kraju, sve moguće slučajeve kada je poradi izmjene prijevoznih uvjeta potrebito izračunati iznose doplata, bilo u vlaku, bilo na blagajni, možemo na vrlo jednostavan način izraziti pomoću formule : 1.6ID = PCX - PCA/R Legenda: PCX - prijevozna cijena uz izmjenjene uvjete PCA/R - prvotno utvrđena prijevozna cijena za putovanje u odlasku ili povratku 5. Zaključak "Bauk komunizma kruži nad Europom", bila je čuvena misao Marxa i Engelsa, kojom su više nego uspješno uzdrmali i zastrašili građansku svijest. Ova prijetnja imala je avoju snagu sve do pojave učenja J.M. Keynsa. Ostaci prijetnje njihovog učenja (Kuba i Vijetnam) danas se ni u najradikalnijim krugovima ne uzimaju ozbiljno. S druge strane, bauk matematike već stoljećima kruži nad učionicama, a da kroz cijelo to vrijeme kod vrhunskuh poznavatelja ovih sadržaja, a i šire, ne postoji dostatno interesa da se stvori takvo učenje, takav pristup nastavnim sadržajima matematike koji će definitivno ovog bauka pretvoriti u leptirića ili barem u pčelicu. Da li je tajna zakopana 20 000 milja pod morem ili se jednostavno premali broj stručnjaka do kraja ozbiljno prihvaća "jednostavnog" posla, kao što je u najvećoj mjeri približavanje ovih nastavnih sadržaja prvo profesorima sa odgovarajućim "teacher books", a potom i učenicima kojima je pomoć i najpotrebnija. U tom pravcu je, u ovom radu učinjen pokušaj glede implementacije nastavnih sadržaja matematike u jednom od najznačajnijih nastavnih sadržaja u obrazovanju željezničkih djelatnika kao što je prijevoz putnika, na jedan s učenicima dogovoren pristup, krajnje razumljivo i neobvezatno, a sve u cilju unapređenja njihovog znanja. Autor ovih redaka sud o korektnosti rada prepušta znanstvenoj i stručnoj javnosti uz samopohvalu da je u njegovoj praktičnoj provedbi u radu s učenicima u parovima, radeći uvjetno rečeno po "staroj" i "novoj" metodi, polučio više nego uspješne rezultate. Nadalje, kako Škola od strane HŽ-a nije uspjela pribaviti odgovarajuću disketu sa softwareom za prikaz rada na terminalu, a glede izračuna prijevoznih cijena i ispostavljanja prijevoznih karata, "otkrivanje" formula od strane učenika omogućilo je kreiranje jednostavnog i samostalnog softwerskog paketa, čime su dodatno oplemenjeni nastavni sadržaji (Prijevoza putnika, Matematike i Informatike), a što može biti predmetom nekog drugog rada. 6. Sažetak Predmet ovoga rada usmjeren je na zastupljenost matematike u nastavnim planovima predviđenim za obrazovanje željezničkih djelatnika, s posebnim osvrtom na nastavne sadržaje matematike kao najznačajnijih korelativnih sadržaja u pojedinim uže stručnim nastavnim predmetima. Rad je namijenjen prije svega srednjoškolskim profesorima pri školama koje obrazuju buduće željezničke djelatnike, njihovim učenicima, ali i svim drugim profesorima u srednjim prometnim školama koji žele učinkovito progovoriti jezikom matematike. Stoga je zadaća rada potaknuti profesore da svojim učenicima na jedan sasma jednostavan i pristupačan način otkriju što se krije ispod "površine leda", otklanjajući vrlo često neopravdani strah od matematike kojima su mnogi izloženi još od najranijeg djetinjstva. Sloboda eksperimentiranja u primjeni matematike ne samo što će omogućiti učenicima da bolje shvate nastavne sadržaje iz uže stručnih predmeta, nego će im više nego uspješno otvoriti vrata informatike čiji nastavni sadržaji zastarijevaju već u trenutku njihova pisanja. Literatura: 1. Glasnik Ministarstva prosvjete i športa Republike Hrvatske, posebno izdanje, broj 7, Zagreb, rujan 1997. 2. Drucker P., Innovation and entrepreneuship, Truman Talley Books/Duton, New York, 1985. 3. Perkins D., Smart Schools, The Free Press, New York, 1995.