Jednostavna objašnjenja nekih formula
za površinu, oplošje i volumen

 

Autor: Keith Enevoldsen, originalna stranica na engleskom jeziku:  http://thinkzone.wlonk.com/Area/AreaVol.htm

Prevela na hrvatski jezik, prilagodila i uz dozvolu autora unijela izmjene: Antonija Horvatek, Matematka na dlanu

 

Pamtiš li formule za površinu, oplošje i volumen bez razumijevanja?

Na ovoj stranici možeš naći jednostavna objašnjenja mnogih od njih. Krenut ćemo s jednostavnijim formulama i nastaviti prema složenijima, sve do formula za oplošje i volumen kugle.

 


 

Površine geometrijskih likova

 


 

Općenito

 

Površina bilo kojeg lika je veličina njegove unutrašnjosti.

Mjerne jedinice za površinu su: kvadratni metar (m2), kvadratni decimetar (dm2), kvadratni centimetar (cm2) itd.

Kvadrat čije su stranice duge 1 cm ima površinu 1 cm2.

 

 

Ako za prekrivanje nekog lika trebamo npr. 4 takva kvadrata,

 onda je površina tog lika  4 cm2 .

      

  Nadalje:

  - kvadrat čije su stranice duge 1 dm ima površinu 1 dm2,

  - kvadrat čije su stranice duge 1 m ima površinu 1 m2,

  itd.

 

 

Četverokuti

 

1. Pravokutnik

 

 

P = a·b

Objašnjenje formule:

 
Formula slijedi iz same definicije pojma površine.

Npr.

P = 5 ·2 = 10 cm2

Općenito:  Ako su duljine stranica pravokutnika a i b, tada u 1. redak možemo staviti točno a jediničnih kvadrata, u 2. redak opet a jediničnih kvadrata itd., a bit će točno b redaka. Stoga je ukupan broj jediničnih kvadrata a·b .

 

 

2. Četverokut s okomitim dijagonalama

 

 

 

P = 1/2 · d1 · d2

Objašnjenje formule:

 
Četverokut s okomitim dijagonalama d1 i d2 lako docrtamo do pravokutnika sa stranicama d1 i d2. Površina tog pravokutnika je d1·d2 , a površina početnog četverokuta je očito napola manja.

 

                                     

 

3. Kvadrat

 

 

P = a 2

 

 

 

P = 1/2 · d 2

Objašnjenje formula:

 
Prva formula je posljedica činjenice da je kvadrat specijalni slučaj pravokutnika u kojem je a=b.

Druga formula je posljedica činjenice da se dijagonale kvadrata sijeku pod pravim kutom i formule navedene pod 2.

 
Napomena:

Koju formulu koristiti u konkretnom slučaju, ovisi o tome je li nam poznata stranica a ili dijagonala d.

Ako nekom kvadratu znamo i duljinu stranice i duljinu dijagonale, svejedno je po kojoj ćemo formuli računati - u oba slučaja dobivamo isti rezultat.

 

 

4. Paralelogram

 

 

 

    P = a · va

Objašnjenje formule:

 
Paralelogram možemo prerezati na dva dijela i presložiti ih tako da dobijemo pravokutnik čija će stranica i visina biti jednake stranici i visini početnog paralelograma.

   

                              

 

5. Romb

 

 

  P = a · va

 

 

P = 1/2 · d1 · d2

Objašnjenje formula:

 
Prva formula je posljedica činjenice da je romb specijalni slučaj paralelograma u kojem je a=b.


Druga formula je posljedica činjenice da se dijagonale romba sijeku pod pravim kutom i formule navedene pod 2.


Napomena:

Koju formulu koristiti u konkretnom slučaju, ovisi o tome je li nam poznata stranica a ili dijagonale d1  i d2 .

Ako nekom rombu znamo i duljine stranica i duljine dijagonala, svejedno je po kojoj ćemo formuli računati - u oba slučaja dobivamo isti rezultat.

 

 

6. Trapez

 

  P = 1/2 · (a + c) · v

Objašnjenje formule:

 
Svaki trapez je jedan od dva sukladna (jednaka) trapeza koji čine paralelogram s bazom a+c i visinom v, pa je njegova površina jednaka polovini površine tog paralelograma.

   

   

 

Površina paralelograma na slici:    P = (a+c) · v

 

7. Deltoid

 

 

P = 1/2 · d1 · d2

Objašnjenje formule:

 
Deltoid ima okomite dijagonale, pa za njega vrijedi formula pod 2.

 


 

Trokuti

 

8. Trokut - općenito

 

 

P = 1/2 · a · va

Objašnjenje formule:

 
Svaki trokut je jedan od dva sukladna (jednaka) trokuta koji čine paralelogram, pa je njegova površina pola površine paralelograma.

 

                                     

 

9. Pravokutni trokut

 

 

 

P = 1/2 · a · b

i

P = 1/2 · c · vc

 

Objašnjenje formula:

 
Prva formula je posljedica formule za površinu bilo kojeg trokuta (pod 8.) i toga što je u pravokutnom trokutu b=va.

Drugu formulu dobivamo primjenom formule  P=1/2·a·va   na stranicu c.

 


 

Krug

 

 

 

 

P = r2 π

Objašnjenje:

 
Opseg kruga (tj. duljina kružnice) je 2rπ. Tako je definiran broj π (π3.14). Podijelimo krug na kružne isječke. Što veći broj isječaka napravimo, to će se ti isječci po svom obliku sve više približavati obliku trokuta. Ukupnu površinu svih tih trokuta dobivamo množenjem: 

1/2  puta zbroj njihovih donjih stranica (a one su zajedno duge kao cijela kružnica, tj. 2rπ) puta visina tih trokuta (a to je r).

 

 


 

Oplošja i volumeni geometrijskih tijela

 


 

Općenito

 

Oplošje tijela je zbroj površina svih likova koji omeđuju to tijelo.

To je površina materijala (npr. kartona, papira...) kojeg bismo upotrijebili pri izradi tog tijela.

Mjerne jedinice za oplošje su iste kao i za površinu, dakle m2, dm2, cm2...

 

Volumen (obujam) tijela je veličina unutrašnjosti tijela.

To je količina npr. pijeska, vode i sl. koje bismo trebali da bismo popunili unutrašnjost tijela.

Mjerne jedinice za volumen su: kubični metar (m3), kubični decimetar (dm3), kubični centimetar (cm3) itd.

 

Kocka čiji su bridovi dugi 1 cm ima volumen 1 cm3.

 

 

Ako za popunjavanje nekog tijela trebamo npr. 3 takve kocke,

 onda je volumen tog tijela  3 cm3 .

      

  Nadalje:

  - kocka čiji su bridovi dugi 1 dm ima površinu 1 dm3,

  - kocka čiji su bridovi dugi 1 m ima površinu 1 m3,

  itd.

 

Osim kubičnih mjernih jedinica, volumen možemo mjeriti i u litrama (l ), decilitrima (dl ) itd.

Veza između tih dviju vrsta mjernih jedinica je:  1 dm3 = 1 l .

 


 

Prizma i valjak

 

1. Površina plašta valjka  čiji je polumjer baze r  a visina v  je  P=2rπv .

Objašnjenje:
Zamislimo da plašt valjka razrežemo po jednoj izvodnici i razgrnemo ga u ravninu - dobivamo pravokutnik čija je jedna stranica duga koliko i kružnica (dakle 2rπ), a druga je v .

 

 

2. Volumen prizme i valjka, bilo uspravnih ili kosih, s bazom površine B  i visinom v  je V=Bv.   Posebno, volumen kvadra je V=abc, volumen kocke V=a3, a volumen valjka  V=r2πv .

 


Objašnjenje glavne formule  V=Bv  za uspravnu prizmu i uspravni valjak:
Za uspravnu prizmu i uspravni valjak ta formula slijedi iz same definicije pojma volumena.

Naime, pitamo se s koliko jediničnih kocki možemo popuniti zadanu prizmu ili valjak. Budući da površina baze B (po definiciji pojma površine) govori koliko je jedničnih kvadrata potrebno za popunjavanje baze, onda isti taj broj B govori i koliko je jedinčnih kocki potrebno za prekrivanje baze. Dakle, prilikom popunjavanja prizme/valjka, u 1. sloj stane točno B jediničnih kocki, no tada i u 2. sloj stane također B jedničnih kocki (slažemo kocku na kocku) itd., a ukupno ima v slojeva. Stoga je tu ukupno B·v jediničnih kocki, pa je  V=Bv.

 
Objašnjenje iste formule za kosu prizmu i kosi valjak:
Za kosu prizmu ili kosi valjak, krenimo od uspravne prizme ili valjka, zamislimo da su oni podijeljeni na jako tanke vodoravne slojeve, te pomakom tih slojeva dobivamo kosu prizmu/valjak (iste baze i visine). A pomicanjem tih slojeva volumen se ne mijenja!

 

Objašnjenje formula za kvadar, kocku i valjak, V=avc, V=a3, V=r2πv :
Te formule dobijemo kad u osnovnu formulu V=Bv uvrstimo formulu za površinu baze u svakom posebnom slučaju i oznake za bridove odnosno za polumjer baze.

 


 

Piramida i stožac

 

3. Površina plašta uspravnog stošca čiji je radijus baze r  a duljina izvodnice s  je  P=rπs.

Objašnjenje:
Rezovima po izvodnicama, podijelimo plašt stošca na kružne isječke. Povećanjem broja tih isječaka (odnosno smanjivanjem njihove širine), njihov se oblik sve više približava obliku trokuta. Površinu svih tih trokuta zajedno dobivamo množenjem:

1/2  puta zbroj njihovih donjih stranica (a to je jednako opsegu baze 2rπ)  puta visina tih trokuta s.

 

 

4. Volumen piramide (bilo uspravne ili kose) s površinom baze B  i visinom v  je  V=Bv/3.

 

 

Objašnjenje u 3 koraka:

1. korak:

Volumen piramide je proporcionalan površini baze B, a ujedno i visini v . Naime, zamislimo da se udvostruči baza ili visina. Udvostručenje baze će uzrokovati udvostručenje volumena po svakom vodoravnom presjeku. Udvostručenje visine uzrokovat će udvostručenje volumena po svakom uspravnom presjeku.

 

2. korak:

Konstanta proporcionalnosti mora biti 1/3.

Naime, ako krenemo od piramide čija je baza kvadrat 1x1, a visina 1/2, i ako 6 takvih piramida spojimo kao što prikazuje slika, one će zajedno činiti kocku 1x1x1, a njezin je volumen 1. Stoga je volumen polazne piramide jednak 1/6, a to je 1/3·B·v  .

 

3. korak:

Kosa piramida ima isti volumen kao i uspravna piramida s istom bazom i visinom.

Naime, krenimo od uspravne piramide, zamislimo da je ona podijeljena na puuuno tankih vodoravnih slojeva, te pomaknemo te slojeve da bismo dobili kosu piramidu. Pomakom slojeva volumen se nije promijenio.

 

 

 

5. Volumen stošca (bilo uspravnog ili kosog) s polumjerom baze r  i visinom v  je  V=r2πv/3.

Objašnjenje:
Za volumen stošca vrijedi ista formula kao i za volumen piramide V=Bv/3 . Naime, ako stožac podijelimo s puno ravnina koje prolaze kroz visinu stošca, povećanjem broja ravnina dobivena tijela sve više liče piramidama. Iz zbroja njihovih formula za volumen dobivamo Bv/3. Budući da je baza krug, umjesto B možemo uvrstiti r2π te time dobivamo V=r2πv/3.

Kosi stožac ima istu formulu. Objašnjenje je isto kao i (gore) za kosu piramidu.

 


 

Kugla

 

6. Oplošje kugle polumjera r je  O=4r2π.

Objašnjenje:

Uočimo da je površina plašta valjka koji ima polumjer baze r  i visinu 2r  upravo  P=2rπv = 2rπ·2r = 4r2π .
Dakle, dovoljno je uočiti da je oplošje kugle (tj. površina sfere) jednaka površini plašta takvog valjka. Da bismo to uočili, prvo zamislimo da je kugla smještena u takav valjak. Zatim zamislimo da i kuglu i valjak prerežemo dvjema ravninama koje su paralelne s bazom valjka i čija je međusobna udaljenost vrlo mala. Između tih dviju ravnina dobivamo prsten na plaštu valjka i prsten na sferi. Oba prstena imaju jednake površine! Zašto? Prsten na sferi ima manji polumjer, ali zato je širi od prstena na plaštu valjka, i to dovodi do jednakosti površina tih dvaju prstena, ako je udaljenost između presječnih ravnina jako mala. Gornji crtež prikazuje dva pravokutna trokuta. Hipotenuza većeg trokuta je polumjer sfere, a hipotenuza manjeg trokuta smanjenjem udaljenosti između presječnih ravnina prelazi u tangentu, pa je okomita na polumjer R, D je okomit na R. Zbog očite okomitosti i još jednog para kateta tih trokuta, slijedi da se ti trokuti podudaraju u dva kuta pa su prema K-K poučku slični. Stoga su im stranice proporcionalne, pa vrijedi r/R=d/D, odnosno rD=Rd. Otuda slijedi 2Rπd = 2rπD, tj. površina prstena na plaštu valjka jednaka je površini pripadnog prstena na sferi. Budući da to vrijedi za prstene određene bilo kojim bliskim ravninama paralelnima s bazom, slijedi da je površina cijele sfere jednaka površini cijelog plašta valjka.

 

 

7. Volumen kugle  je  V=4/3 ·r3π .

Objašnjenje :
Podijelimo kuglu na što više piramida čije su baze što manjih površina i čiji su vrhovi u središti kugle. Volumen svake piramide jednak je umnošku:

1/3 puta površina baze piramide puta visina piramide (a visina piramide je polumjer kugle r),

a nakon zbrajanja svih tih volumena dobivamo umnožak:

1/3 puta površina cijele sfere (a to je 4r2π ) puta polumjer kugle r . Otuda slijedi V=4/3·r3π .

 

 

Povijesna napomena: Prva osoba koja je otkrila kako se računaju oplošje i volumen kugle bio je Arhimed.

 


PDF format na engleskom jeziku

PDF | Uvjeti korištenja | Kupite poster


 

Autor: Keith Enevoldsen

Originalna stranica na engleskom jeziku:  http://thinkzone.wlonk.com/Area/AreaVol.htm

Home stranica: Keith Enevoldsen's Think Zone

 

Prevela na hrvatski jezik, prilagodila i uz dozvolu autora unijela izmjene: Antonija Horvatek

Ova je stranica dio weba: Matematka na dlanu
 

Najtoplije zahvaljujem autoru na dopuštenju da stranicu prevedem na hrvatski jezik, unesem promjene i objavim u sklopu svojih web stranica.

Antonija Horvatek


Keith Enevoldsen's Think Zone