Rješenja "korak po korak" zadataka iz matematičke logike

s ljetnog roka državne mature 2010.

 

Home


17. zadatak: Trebalo je pojednostavniti (minimizirati) logički izraz:

Na dani izraz možemo primijeniti pravilo distributivnosti, tj. pomnožiti ćemo članove izvan zagrade s članovima unutar zagrade,  i to i za lijevi i desni dio izraza:

Na krajnjem lijevom i krajnjem desnom dijelu izraza članovima negirano A i negirano B zamijeniti ćemo mjesta radi jasnoće postupka (komutativnost):

Sada je vidljivo da na ta dva dijela možemo primijeniti pravilo komplementarnosti (A pomnoženo s negirano A i B s negirano B daje 0):

Za krajnji lijevi i krajnji desni dio izraza sada vrijedi anihilacija (množimo li nešto s nulom dobiti ćemo nulu):

I te nule sada možemo „ispustiti“ iz izraza i ostaje nam:

Sada možemo uočiti da su A i B zajednički članovi i lijevog i desnog dijela izraza pa ih možemo „izvući“ van (distributivnost):

Za C i negirano C unutar zagrade vrijedi komplementarnost:

Kako množenje s 1 ne mijenja vrijednost izraza, taj 1 možemo izostaviti i ostaje nam rješenje:
 
18. zadatak: Trebalo je napisati logički izraz za dani sklop.
Rješavati ćemo sklop po sklop od gore lijevo prema desno.

Prvo treba pomnožiti vrijednosti ulaza A i B.
Zatim ćemo to negirati.
Dobiveni dio izraza treba pomnožiti s vrijednostima s ulaza B i C.

Da bismo to učinili, treba prvo negirati vrijednost s ulaza C.
I zatim B i negirano C zbrojiti.
Sada možemo pomnožiti "gornji" i "donji" dio sklopa.
I na kraju nam je ostalo još samo negirati (invertirati) dobiveni izraz.

Izraz u crvenom oblačiću je naše rješenje.
 
19. zadatak: Traži se pojednostavljena jednadžba danog sklopa.
Da bismo to napravili treba prvo za sklop napisati logički izraz koji ga opisuje. To je upravo ono što smo radili u 18. zadatku.

Naše rješenje je u zadnjem desnom crvenom oblačiću.

Sada možemo pristupiti minimizaciji sklopa, odnosno pojednostavljenju izraza.
Prvo ćemo primijeniti De Morganovo pravilo "razdvojiti" izraz na lijevi dio (tri člana) i desni dio gdje je samo negirano C. Sada nad lijeva tri člana, kao i na desnom C, imamo dvostruku negaciju.
To ćemo primjenom pravila involutivnosti jednostavno izostaviti.
Sada na lijevi dio izraza A i B pod negacijom opet možemo primijeniti De Morganovo pravilo.
Članove u zagradi pomnožiti ćemo s B izvan zagrade (distributivnost).
Negirano B pomnoženo s B daje 0 (anihilacija).
Kada iz izraza maknemo 0 ostaje nam naše krajnje rješenje:
 
30. zadatak: Napisani logički izraz treba primjenom pravila pojednostavljivanja napisati tako da se koriste samo logičke operacije negacije i disjunkcije
Drugim riječima, izraz treba napisati tako da se ne koristi logičko množenje, a rezultat mora ostati isti.

Na izraz ćemo prvo primijeniti De Morganovo pravilo:
Na lijevi i desni dio izraza dobili smo negaciju negacije što možemo jednostavno zanemariti:
Sada ćemo lijevi dio u zagradi izmnožiti s oba člana s desne strane izvan zagrade (distributivnost):
Na lijevoj strani imamo množenje A s negirano A (komplementarnost), a na desnoj strani ćemo radi preglednosti zamijeniti mjesta članovima tako da dva negirana B budu jedan kraj drugoga:
Lijevo nam ostaje 0, a desno negirano B puta negirano B (neutralni element):
Nulu "zanemarimo" i desno zamijenimo mjesta elementima (komutativnost):
Sada ćemo primijeniti De Morganovo pravilo "unazad" i umjesto množenja dva negirana člana dobiti ćemo zbrajanje "pod negacijom" što je i rješenje zadatka:
 
32. zadatak: Traži se tablica istinitosti za dani sklop i to samo konačno rješenje Y.
Nešto duži put, ali sigurniji ako niste izverzirani, je napraviti kompletnu tablicu istinitosti sa svim međuvrijednostima. Rješavamo korak po korak s lijeva na desno i od gore prema dolje.

A množimo s B koji smo prije toga morali negirati i tada to sve zbrajamo s "donjim" vrijednostima gdje prvo moramo negirati A i negirati C da bismo te negirane vrijednosti mogli "pomnožiti". Tada možemo dobiti izlaze na krajnjem desnom ILI sklopu.
A B C Y
0 0 0 1 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 0 0 0
1 0 0 1 1 0 1 0 1
1 0 1 1 1 0 0 0 1
1 1 0 0 0 0 1 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0 0
 

 
Drugi, kraći način je da na crtežu sklopa uočimo da nam na ulazu u zadnji desni ILI sklop treba barem jedna 1 da bi izlaz bio 1.

Za to nam u gornjem dijelu sklopa trebaju kombinacije ulaza gdje su A=1 i B=0.
U donjem dijelu dobiti ćemo 1 za ulaz u ILI sklop na onim kombinacijama ulaza gdje su i A i C = 0.

Kada smo upisali jedinice, preostala mjesta u tablici ispunimo s 0.

 

Povratak na naslovnicu

Home